سیاوش شهشهانی، عصر امروز پنجشنبه ۲۵ اریبهشت در رویداد «هفته بهار ریاضیات» (از زادروز مریم میرزاخانی در ۲۲ اردیبهشت تا زادروز حکیم عمر خیام در ۲۸ اردیبهشت) که به همت بخش دانشجویی ریاضیات اصفهان و با مشارکت بنیاد مریم میرزاخانی و شرکت فولاد مبارکه اصفهان در خانه ریاضیات اصفهان برگزار شد، ضمن تقدیم سخنرانی خود (با محوریت ریاضیات در آکادمی افلاطون) به یاد و خاطره فروزان خردپژوه اظهار کرد: خانه‌ ریاضیات، مکانی است که علاقه‌مندان به ریاضی در آن گرد هم می‌آیند. شاید مناسب باشد که در اینجا به آکادمی افلاطون اشاره کنیم، زیرا این آکادمی از قدیمی‌ترین مراکز علمی ثبت‌شده در تاریخ محسوب می‌شود؛ مرکزی که در آن نه‌تنها درباره‌ ریاضیات، بلکه پیرامون سایر علوم نیز بحث و گفت‌وگو می‌شد. در این راستا، می‌توان میان خانه‌ ریاضیات و سنت علمی آکادمی افلاطون ارتباطی معنادار یافت.  

وی با بیان اینکه ریاضیات یونانی به سه دوره تفسیم می‌شود، افزود: آنچه که به «ریاضیات یونانی» شهرت دارد را می‌توان به سه دوره‌ تاریخی تقسیم کرد؛ دوره نخست، پیش از قرن چهارم پیش از میلاد که اطلاعات موجود درباره‌ آن محدود و عمدتاً از منابع بعدی نقل شده است. دوره دوم، قرن چهارم پیش از میلاد که نقش مهمی در آکادمی افلاطون ایفا کرده است. دوره سوم، از قرن سوم پیش از میلاد تا پایان قرن چهارم میلادی که ریاضیات یونانی در این بازه‌ ۷۰۰ ساله تکامل یافته است.  

عضو هیئت علمی دانشکده علوم ریاضی دانشگاه صنعتی شریف ادامه داد: بر خلاف دوره‌ نخست که بیشتر جنبه‌ اسطوره‌ای دارد، دوره‌ دوم کاملا مستند است. در این دوره، کتاب مشهور «اصول» که در اسکندریه نگاشته شد، شکل گرفت. نویسنده‌ این اثر، اقلیدوس، پیش‌تر در آکادمی افلاطون حضور داشته است. در این کتاب، ۱۳ فصل مطرح شده که چهار فصل نخست آن به مبانی کلاسیک اختصاص دارد، در حالی که از فصل پنجم به بعد، محتوای آن تا حد زیادی تحت تأثیر اندیشه‌های آکادمی افلاطون و ریاضیدانان مرتبط با آن شکل گرفته است.  

شهشهانی تصریح کرد: در مورد نقش اقلیدوس، برخی محققان بر این باورند که وی بیشتر به گردآوری مباحث ریاضی موجود پرداخته تا ایجاد نظریه‌های جدید، با این حال، کتاب «اصول» سهم چشمگیری در مستندسازی دانش ریاضی داشته و بعدها در تمدن اسلامی، ریاضیدانانی مانند خیام و در دوران مدرن دکارت و دیگران، از آن استفاده کرده‌اند.

وی زبان علمی اپن دوران را یونانی دانست و گفت: در بحث «ریاضیات یونانی»، باید توجه داشت که بسیاری از شخصیت‌های برجسته‌ این علم، لزوما یونانی‌الاصل نبودند؛ بلکه دلیل انتساب آنان به فرهنگ یونانی این است که زبان علمی آن دوران، یونانی بود. برای نمونه، فیثاغورس از اهالی ساموس و برخی دیگر در آسیای صغیر که امروزه بخشی از ترکیه محسوب می‌شود، زندگی می‌کردند. نام‌های یونانی این دانشمندان موجب شده که برخی تصور کنند آن‌ها همگی یونانی بودند، در حالی‌که این زبان صرفا زبان علم و فلسفه‌ رایج در آن زمان بوده است.  

عضو هیئت علمی دانشکده علوم ریاضی دانشگاه صنعتی شریف با تاکید بر تأثیر آکادمی افلاطون خاطرنشان کرد: پس از اعدام سقراط در ۳۹۹ پیش از میلاد، افلاطون که در آن زمان ۲۸ سال داشت، مرکزی آموزشی را در زمینی به نام «آکادموس» واقع در شمال آتن تأسیس کرد. این مکان که با کاشت زیتون و تاریخچه‌ای نیمه‌افسانه‌ای مرتبط بود، بعدها به «آکادمی افلاطون» شهرت یافت و طی چندین قرن، مرکزی برای پژوهش‌های علمی و فلسفی بود. پس از افلاطون، این مرکز بیشتر به مطالعات فلسفی و اخلاقی گرایش یافت.  

شهشهانی بیان کرد: در آکادمی افلاطون، شخصیت‌های برجسته‌ای در شکل‌گیری ریاضیات نقش داشتند، از جمله دُکسیوس، که ابتدا در آکادمی افلاطون فعال بود ولی بعدها به زادگاه خود بازگشت و مکتب مستقلی پایه‌گذاری کرد. افلاطون به ریاضیات انتزاعی علاقه‌مند بود، و این نگرش با دیدگاه ریاضیدانانی که به کاربردهای عملی ریاضیات توجه داشتند، گاه در تضاد قرار می‌گرفت.  

وی افزود: برای بررسی دقیق ریاضیات یونانی و نقش آکادمی افلاطون، کتاب «اصول» بهترین منبع است. این اثر نه‌تنها دانش ریاضی تا قرن چهارم پیش از میلاد را جمع‌آوری کرده، بلکه تأثیرات متفکران آن زمان را نیز نشان می‌دهد. اهمیت این کتاب در تاریخ علم چنان بوده که هیچ اثر علمی دیگری به‌اندازه‌ی آن مورد استناد قرار نگرفته است.

عضو هیئت علمی دانشکده علوم ریاضی دانشگاه صنعتی شریف یادآورد شد: بخش قابل‌توجهی از ریاضیات پیش از میلاد به تالس و فیثاغورس نسبت داده می‌شود. فصل‌های ۵، ۶ و ۱۲ کتاب اصول را می‌توان تحت تأثیر این اندیشمندان دانست. در این فصل‌ها، هندسه تنها مبحث اصلی نیست، بلکه نظریه‌ اعداد نیز نقش مهمی دارد.  

شهشهانی با بیان اینکه در دوران یونانی دوشاخه اصلی بزای ریاضیات محض شناخته می‌شد، تبیین کرد: در دوران یونانی، دو شاخه‌ اصلی از جمله هندسه و نظریه اعداد برای ریاضیات محض شناخته می‌شد. نظریه‌ اعداد در آن زمان به بررسی اعداد صحیح اختصاص داشت و عدد یک را به‌عنوان پایه در نظر نمی‌گرفتند؛ بلکه بررسی از عدد دو به بالا انجام می‌شد. فصل‌های ۱۰، ۱۲ و ۱۳ کتاب اصول عمدتاً بر نظریه‌ اعداد متمرکز است و دلایل خوبی وجود دارد که نشان می‌دهد بخش مهمی از این نظریات تحت تأثیر فیثاغورسی‌ها بوده است.  

ساختار کتاب اصول در ۱۳ فصل و نخستین روش پیشگام در انتگرال

وی ضمن تاکید بر اهمیت کتاب اصول در تاریخ ریاضیات گفت: بخش عظیمی از مباحث ریاضیاتی که امروزه در سطوح مقدماتی و حتی دانشگاهی تدریس می‌شوند، ریشه در کتاب اصول دارند. بسیاری از مفاهیم این کتاب مستقیماً در ریاضیات دوران مدرن نیز کاربرد دارند.  

عضو هیئت علمی دانشکده علوم ریاضی دانشگاه صنعتی شریف پیرامون ساختار این کتاب تصریح کرد: ساختار فصل اول به اصول متعارف و اصول موضوعه پرداخته است. اصول متعارف قواعدی کلی و فراگیر هستند که خارج از هندسه نیز اعتبار دارند و اصول موضوعه اصولی ویژه‌ هندسه محسوب می‌شوند و مبنای استدلال‌های این شاخه‌ ریاضی را تشکیل می‌دهند. این اصول، شیوه‌ تفکر ریاضیدانان یونانی را نشان می‌دهند و لازم است مورد بررسی دقیق قرار گیرند.  

شهشهانی اقلیدوس را متاثر از فلسفه ارسطویی دانست و اظهار کرد: اقلیدوس بی‌تردید تحت تأثیر دیدگاه‌های فلسفی ارسطو بوده است. فصل‌بندی و تنظیم مطالب کتاب اصول شباهت زیادی به سبک استدلالی ارسطو دارد. برای نمونه، یکی از اصول بنیادین در کتاب چنین بیان شده است: «اگر دو نقطه داشته باشیم، یک خط راست میان آن‌ها وجود دارد.» این نوع بیان، نشان‌دهنده‌ی دیدگاه ریاضیدانان آن دوران است که وجود را موضوعی خارج از ریاضیات می‌دانستند.  

وی اضافه کرد: تعریف اقلیدوس از دایره، با دیدگاه نظریه‌ مجموعه‌ای در دوران مدرن تفاوت دارد. در ریاضیات باستان، مفهوم دایره و گوی تفکیک نشده بودند، و تعریف دایره، آن را به ناحیه‌ای در صفحه مرتبط می‌کرد. اقلیدوس در اصول سوم خود بیان می‌کند: «هرگاه یک پاره‌خط داشته باشیم، می‌توان دایره‌ای رسم کرد که شعاع آن برابر آن پاره‌خط باشد.»   

عضو هیئت علمی دانشکده علوم ریاضی دانشگاه صنعتی شریف در توضیح اصل چهارم کتاب اصول و مفهوم مقدار مطلق زاویه بیان کرد: این اصل با بیان «هر دو زاویه‌ی قائمه با یکدیگر برابرند.» نشان می‌دهد که ریاضیدانان یونانی، زاویه را یک مقدار مطلق در نظر می‌گرفتند که می‌توان آن را مستقیما مقایسه کرد، در حالی که طول چنین خاصیتی نداشت. این مسئله بعدها در نظریات هیلبرت نیز مورد بررسی قرار گرفت.  

شهشهانی با اشاره به مفهوم خطوط موازی در اصل پنجم ادامه داد: در اصل پنجم آمده است: «اگر دو خط موازی توسط یک خط سوم قطع شوند، به‌طوری که مجموع دو زاویه‌ی داخلی کمتر از دو قائمه باشد، آن دو خط در صورت امتداد، یکدیگر را قطع خواهند کرد.» این اصل، یکی از مهم‌ترین اصول در هندسه‌ اقلیدوسی محسوب می‌شود و بعدها در مباحث مرتبط با هندسه‌ نااقلیدوسی مورد توجه قرار گرفت.  

عضو هیئت علمی دانشکده علوم ریاضی دانشگاه صنعتی شریف یادآور شد: کتاب اصول در فصل دوم به بررسی مساحت‌های اشکال هندسی که در آن اندازه‌گیری براساس مربع‌ها تعریف شده است می‌پردازد. در فصل سوم مبحث دایره وخط‌ مماس که رویکرد آن با فلسفه‌ی ارسطویی ارتباط دارد مطرح شده است. در فصل چهارم ترسیم چندضلعی‌های منتظم مورد بحث قرار گرفته است.

وی ادامه داد: اقلیدوس تأکید داشت که میان کمیت‌های متصل (مانند طول و مساحت) و کمیت‌های منفصل (مانند اعداد صحیح) تفاوت وجود دارد. وی عقیده داشت که کمیت‌های منفصل، دارای یک واحد طبیعی هستند، در حالی که کمیت‌های متصل چنین ویژگی‌ای ندارند.  

شهشهانی کشف نسبت‌های ناگویا در دوران یونانی را از مسائل بنیادی دانست و گفت: در فصل پنجم کتاب اصول به کشف نسبت‌های ناگویا پرداخته است. نخستین موارد کشف این نسبت‌ها را به فیثاغورثی‌ها نسبت می‌دهند. برخی معتقدند که نخستین بار کشف شد که قطر مربع واحد، عددی ناگویا است، در حالی که گروهی دیگر اشاره می‌کنند که قطر پنج‌ضلعی نسبت طلایی دارد. این کشف، تأثیر عمیقی بر نظریه‌ی اعداد در ریاضیات یونانی داشت و موجب شکل‌گیری مباحث جدیدی پیرامون عدد و نسبت شد.

وی خاطرنشان کرد: یکی از مسائل مهمی که در آکادمی افلاطون مورد بررسی قرار گرفت، مقایسه‌ دو نسبت هندسی مرتبط با دایره از جمله نسبت مساحت دایره به مجذور مساحت مربعی که روی شعاع آن ساخته می‌شود و نسبت محیط دایره به قطر آن بود. در نگاه اول، این دو نسبت از دو جنس کاملا متفاوت هستند، اما آیا امکان مقایسه‌ آن‌ها وجود دارد. یکی از پیروزی‌های بزرگ آکادمی افلاطون ارائه‌ تعریفی دقیق از نحوه‌ مقایسه‌ چنین مقادیر بود.  

عضو هیئت علمی دانشکده علوم ریاضی دانشگاه صنعتی شریف در تعریف مقایسه مقادیر و اصل ارشمیدسی گفت: اصل ارشمیدوس بیان می‌کند که دو مقدار زمانی قابل مقایسه هستند که اگر یکی از آن‌ها به اندازه‌ کافی انباشته شود، بتواند از دیگری بزرگ‌تر شود. براساس این اصل، اگر برای هر دو نسبت بتوان حالتی یافت که یکی از آن‌ها پس از انباشتگی از دیگری فراتر رود، آنگاه امکان مقایسه‌ آن‌ها وجود دارد.  

شهشهانی ادامه داد: فصل پنجم کتاب اصول مبانی ریاضی مورد نیاز برای مقایسه‌ نسبی را ارائه می‌دهد. در این فصل، اگر دو عدد صحیح m و n را در نظر بگیریم، تعداد دفعاتی که n در مخرج نسبت‌های مورد بررسی قرار می‌گیرد، تعیین‌کننده‌ برابری یا نابرابری آن‌هاست. فصل ششم این موضوع را بیشتر بسط می‌دهد و نشان می‌دهد که مقایسه‌ دقیق این نسبت‌ها پیچیده‌تر از یک ضرب و تقسیم ساده است. در حقیقت، بررسی دقیق این موضوع منجر به ارائه‌ یکی از مهم‌ترین مفاهیم در تحلیل ریاضی شد.  

وی ضمن اشاره به اختلاط تاریخ در تعیین زادروز خیام در ۲۸ اردیبهشت توضیح داد: خیام در رساله‌ خود «حاشیه بر کتاب اقلیدوس» انتقاداتی به تعریف مقایسه‌ نسبی ارائه داده است. وی معتقد بود که این تعریف، هرچند از نظر ریاضیاتی صحیح است، اما در عمل چندان کارآمد نیست. به‌جای آن، خیام روش دیگری را پیشنهاد داد که مبتنی‌بر الگوریتم‌های محاسباتی بود؛ روشی که بعدها در توسعه‌ نظریه‌های مدرن ریاضی به‌کار گرفته شد.  

شهشهانی افزود: در فصل‌های هفتم تا نهم کتاب اصول، برخی ویژگی‌های بنیادی نظریه‌ اعداد مطرح شده‌اند که به تعریف و ویژگی‌های اعداد اول؛ نامتناهی بودن تعداد اعداد اول؛ اثبات وجود اعداد اول بزرگ‌تر از هر عدد داده‌شده پرداخته است. اثبات این قضایا در این فصول با شیوه‌هایی که امروزه در نظریه‌ اعداد استفاده می‌شود تفاوت دارد، چراکه ریاضیدانان یونانی فاقد روش‌های جبری مدرن بودند.  

عضو هیئت علمی دانشکده علوم ریاضی دانشگاه صنعتی شریف گفت: در فصل دهم، به طولانی‌ترین و از جهاتی دشوارترین مبحث پرداخته می‌شود؛ یعنی بررسی عدد صحیح و شرایط گویا بودن جذر عددی که خودش مجذور کامل نیست. این فصل، باوجود پیچیدگی‌های زیاد، گام مهمی در تکامل نظریه‌ اعداد برداشته است.  

وی یکی از اهداف افلاطون در آکادمی را گسترش هندسه فضایی معرفی کرد و تصریح کرد: فصل یازدهم کتاب اصول، به بررسی بعد سوم اختصاص دارد و اثبات می‌کند که فضا بیش از دو بعد دارد. بااین‌حال، در این فصل، هیچ اصول موضوعه‌ای برای هندسه‌ فضایی ارائه نمی‌شود که از نقاط ضعف ساختاری کتاب محسوب می‌شود. در فصل دوازدهم، یکی از نخستین روش‌های پیشگام در محاسبات انتگرال ارائه شده است. در این فصل، محاسبه‌ مساحت‌های اشکال پیچیده و حجم‌های سه‌بعدی با استفاده از روش‌های هندسی انجام می‌شود. نکته‌ جالب این است که با وجود بررسی دقیق مساحت دایره، بحثی درباره‌ مقدار پی به‌طور صریح مطرح نمی‌شود، اگرچه ریاضیدانان یونانی احتمالا از مقدار تقریبی آن اطلاع داشتند.  

شهشهانی گفت: فصل پایانی کتاب اصول را می‌توان یکی از شاهکارهای ریاضیات باستانی دانست. در این فصل، پنج حجم منتظم (چهاروجهی، مکعب، هشت‌وجهی، بیست‌وجهی، و دوازده‌وجهی) بررسی شده‌اند. کشف دوازده‌وجهی منتظم در دوران باستان یکی از مهم‌ترین دستاوردهای هندسه بود. برخی متفکران دوران باستان، این احجام را به عناصر چهارگانه (آتش، خاک، هوا، و آب) مرتبط می‌دانستند. پس از کشف دوازده‌وجهی، ارسطو پیشنهاد کرد که این شکل هندسی می‌تواند به اسیر یا اتر، که به‌عنوان ماده‌ اجسام سماوی شناخته می‌شود، ارتباط داشته باشد.

انتهای پیام