به گزارش ایسنا و به نقل از سایت لایوساینس، ریاضی‌دانان روش جدیدی برای حل معادلات چندجمله‌ای مرتبه بالا ابداع کرده‌اند که نویدبخش یک بازنگری چشمگیر در یکی از فصل‌های بنیادی جبر است.

معادلات چندجمله‌ای سنگ‌بنای علوم مدرن هستند و پایه‌ای ریاضی برای مکانیک سماوی، گرافیک رایانه‌ای، پیش‌بینی رشد بازار و بسیاری حوزه‌های دیگر فراهم می‌کنند. با این حال، هرچند بیشتر دانش‌آموزان دبیرستانی با روش حل معادلات چندجمله‌ای ساده آشنا هستند، راه‌حل‌های معادلات چندجمله‌ای مرتبه بالا حتی از دسترس ریاضی‌دانان مجرب نیز خارج بوده است.

اکنون، نورمن وایلدبرگر، ریاضی‌دان دانشگاه نیو ساوت ولز و دین روبین، دانشمند رایانه مستقل، نخستین روش عمومی برای حل این معادلات فوق‌العاده دشوار را یافته‌اند. آن‌ها رویکرد خود را در ۸ آوریل در نشریه The American Mathematical Monthly تشریح کردند.

چندجمله‌ای نوعی معادله جبری است که در آن متغیرها به توان‌های غیرمنفی رسیده‌اند برای مثال، x² + 5x + 6 = 0. این مفهوم از کهن‌ترین مفاهیم ریاضی به شمار می‌رود و ریشه‌های آن به مصر و بابل باستان بازمی‌گردد.

ریاضی‌دانان مدت‌هاست که روش حل معادلات چندجمله‌ای ساده را می‌دانند. با این حال، معادلات چندجمله‌ای مرتبه بالا، که در آن x به توانی بیشتر از چهار رسیده، همواره چالش‌برانگیز بوده‌اند. روشی که معمولاً برای حل معادلات درجه دوم، سوم و چهارم به کار می‌رود، بر پایه استفاده از ریشه‌های اعداد نمایی است که به آن‌ها رادیکال گفته می‌شود. مشکل اینجاست که رادیکال‌ها اغلب نمایانگر اعداد گنگ هستند، عددهایی اعشاری که تا بی‌نهایت ادامه دارند، مانند عدد پی.

اگرچه ریاضی‌دانان می‌توانند با استفاده از رادیکال‌ها، به حل تقریبی معادلات چندجمله‌ای مرتبه بالا بپردازند، اما در یافتن یک فرمول عمومی که برای همه این معادلات کارآمد باشد، همواره با دشواری روبه‌رو بوده‌اند. دلیلش این است که اعداد گنگ هرگز به‌طور کامل حل نمی‌شوند. وایلدبرگر در بیانیه‌ای گفت: «برای این کار به میزان بی‌نهایتی از محاسبات و یک هارددیسک بزرگ‌تر از کل جهان نیاز خواهید داشت.»

در روش جدید خود، وایلدبرگر و همطور کامل از رادیکال‌ها و اعداد گنگ اجتناب کردند. در عوض، آن‌ها از گسترش‌های چندجمله‌ای موسوم به سری‌های توانی بهره گرفتند؛ رشته‌های بی‌نهایتی از جمله‌ها که دارای توان‌های مختلف x هستند و معمولاً برای حل مسائل هندسی به کار می‌روند. این روش به زیرشاخه‌ای از ریاضیات تعلق دارد که به نام ترکیبیات شناخته می‌شود.

ریاضی‌دانان روش خود را بر پایه اعداد کاتالان بنا کردند؛ دنباله‌ای عددی که می‌توان از آن برای تعیین تعداد روش‌های تقسیم یک چندضلعی به مثلث‌ها استفاده کرد. این دنباله نخستین بار حدود سال ۱۷۳۰ توسط ریاضی‌دان مغولی، مینگانتو، شرح داده شد و سپس به‌طور مستقل در سال ۱۷۵۱ توسط لئونارد اویلر کشف شد. وایلدبرگر و روبین دریافتند که می‌توانند با استفاده از نسخه‌های پیشرفته‌تر اعداد کاتالان، به حل معادلات چندجمله‌ای مرتبه بالا بپردازند. آن‌ها این گسترش را «ژئود» نامیدند.

ژئود کاربردهای بالقوه فراوانی برای پژوهش‌های آینده دارد، به‌ویژه در علوم رایانه و گرافیک. وایلدبرگر گفت: «این یک بازنگری چشمگیر در یکی از فصل‌های پایه‌ای جبر است.»

انتهای پیام